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南京数学竞赛解方程题

来源:www.hzq3344.com 时间:2024-03-12 07:37:35 作者:南京分类信息网 浏览: [手机版]

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南京数学竞赛解方程题(1)

  南京市的数学竞赛中,解方程题常见的考点之一欢迎www.hzq3344.com。解方程数学中的基础知识,也数学应的重要工具。本文将介绍几个南京数学竞赛中常见的解方程题目,并给出详细的解题方

例题一

  已知方程 $x^2 + 4x - 5 = 0$ 的两个根为 $x_1$ 和 $x_2$,求 $x_1^2 + x_2^2$www.hzq3344.com

  解题思路:

  由于 $x_1$ 和 $x_2$ 方程的两个根,所以根据韦可得 $x_1 + x_2 = -4$,$x_1x_2 = -5$。因此,我们可以将 $x_1^2 + x_2^2$ 表示为 $(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$,带入已知条件可得:

  $$

  \begin{aligned}

  x_1^2 + x_2^2 &= (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \\

  &= (-4)^2 - 2(-5) \\

  &= 26

  \end{aligned}

  $$

因此,方程 $x^2 + 4x - 5 = 0$ 的两个根的方和为 $26$。

例题二

  已知正数 $x$ 满足 $x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = 0$,求 $x^{2019} + 1$ 的值hzq3344.com

  解题思路:

  我们可以将 $x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = 0$ 化简为 $(x - 1)^3 = 1$,从而得到 $x = 1$ 或 $x = 1 + \omega$ 或 $x = 1 + \omega^2$,其中 $\omega$ 三次单位根。因此,$x^{2019} + 1$ 的值可以表示为:

  $$

\begin{aligned}

  x^{2019} + 1 &= (x^3)^{673} + 1 \\

&= (3x^2 - 3x + 3)^{673} + 1 \\

  &= (3(x - 1) + 3)^{673} + 1 \\

  &= (3\omega)^{673} + 1 \\

&= -1

\end{aligned}

  $$

  因此,$x^{2019} + 1$ 的值为 $-1$。

例题三

  已知 $a$,$b$ 数,方程 $x^2 - ax + b = 0$ 的两个根为 $x_1$ 和 $x_2$,且 $x_1 + x_2 = a$,$x_1x_2 = b$,求 $a$ 和 $b$ 的值Vpb

  解题思路:

  由于 $x_1$ 和 $x_2$ 方程的两个根,所以根据韦可得 $x_1 + x_2 = a$,$x_1x_2 = b$。因此,我们可以将 $a$ 和 $b$ 表示为 $a = x_1 + x_2$,$b = x_1x_2$,带入已知条件可得:

  $$

\begin{aligned}

a^2 - 4b &= (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 \\

&= (x_1 - x_2)^2 \\

  &\geq 0

\end{aligned}

  $$

  因此,$a^2 - 4b \geq 0$, $a^2 \geq 4b$。又因为 $a$ 和 $b$ 都数,所以 $a^2 \geq 4b$ 等价于 $a^2 = 4b$南~京~分~类~信~息~网。因此,我们可以将 $a$ 和 $b$ 表示为 $a = 2k$,$b = k^2$,其中 $k$ 数。带入已知条件可得:

  $$

  \begin{aligned}

南京数学竞赛解方程题(1)

  x_1 + x_2 &= 2k \\

  x_1x_2 &= k^2

\end{aligned}

  $$

解得 $x_1$ 和 $x_2$ 别为 $k$ 和 $2k$。因此,方程 $x^2 - ax + b = 0$ 的两个根为 $k$ 和 $2k$,$a = 2k$,$b = k^2$来源www.hzq3344.com

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